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FunctionalAnalysis

Topological vector spaces

Intro

Normed spaces

A vector space $X$ is said to be a normed space if: to every $x \in X$ there is an associated non-negative $\norm{x}$, called the norm of $x$, in such a way that:

$\norm{x+y} \le \norm{x} + \norm{y}$ for all $x$ and $y$ in $X$
$\norm{\alpha x} = |\alpha| \norm{x}$ if $x \in X$
$\norm{x} \lt 0$ if $x \ne 0$.

Basics

Compression mapping principle

完备的距离空间上到自身的压缩映射,存在唯一的不动点。
即:(X,P)是一个完备的距离空间,T是(X,P)到其自身的一个压缩映射,则T在X上存在唯一的不动点。
这个原理非常基本,它是泛函分析中的一个最基本最简单的存在性定理。

Metric space: